來源：網(wǎng)絡(luò) | 2018-09-05 16:12:38
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暑期已至，從現(xiàn)在開始，復(fù)習(xí)方法十分重要。很多二戰(zhàn)考生也會(huì)擠壓本就不輕松的報(bào)考難度。下面是2018考研經(jīng)濟(jì)類數(shù)學(xué)線性代數(shù)復(fù)習(xí)指導(dǎo)，大家在復(fù)習(xí)的時(shí)候可以參照。
關(guān)于數(shù)學(xué)，特別是線性代數(shù)的復(fù)習(xí)備考，這里提出“早”、“綱”、“基”、“活”的四字方略，供經(jīng)濟(jì)類專碩考生參考.
一、“早”.提倡一個(gè)“早”字，是提醒考生考研數(shù)學(xué)備考要早計(jì)劃、早安排、早動(dòng)手.因?yàn)閿?shù)學(xué)是一門思維嚴(yán)謹(jǐn)、邏輯性強(qiáng)、相對(duì)比較抽象的學(xué)科.和一些記憶性較多的學(xué)科不同，數(shù)學(xué)需要理解的概念多，方法又靈活多變，而理解概念，特別是理解比較抽象的概念是一個(gè)漸近的過程，它需要思考、消化，需要琢磨、需要從不同的角度、不同的側(cè)面的深入研究，總之它需要時(shí)間，任何搞突擊，搞速成的思想不可取，這對(duì)大多數(shù)考生而言，不可能取得成功;另一方面，早計(jì)劃、早安排、早動(dòng)手是采取“笨鳥先飛”之策，這是考研的激烈競(jìng)爭(zhēng)現(xiàn)實(shí)所要求的，早一天準(zhǔn)備，多一分成績(jī)，多一份把握，現(xiàn)在不少大一、大二的在校生已經(jīng)在準(zhǔn)備2——3年后的考研，這似乎是早了點(diǎn)，但作為一個(gè)目標(biāo)、作為一個(gè)追求，無可非議.作為2015年的考生，從現(xiàn)在開始備考，恐怕已經(jīng)不算太早了.
二、“綱”.突出一個(gè)綱字，就是要認(rèn)真研究考試大綱，要根據(jù)考試大綱規(guī)定的考試內(nèi)容、考試要求、考試樣題有計(jì)劃地、認(rèn)真地、地、系統(tǒng)地復(fù)習(xí)備考，加強(qiáng)備考的針對(duì)性.
由于全國(guó)基礎(chǔ)數(shù)學(xué)教材(高等數(shù)學(xué)，線性代數(shù)，概率論和數(shù)理統(tǒng)計(jì))并不統(tǒng)一，各學(xué)校、各專業(yè)對(duì)這些課程要求的層次也各不相同，因此教育部并沒有指定統(tǒng)一的教材或參考書作為命題的依據(jù)，而是以教育部制定的《全國(guó)碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)考試大綱》(下稱《大綱》)作為考試的法規(guī)性文件，命題以《大綱》為依據(jù)，考生備考復(fù)習(xí)當(dāng)然也應(yīng)以《大綱》為依據(jù).
為了讓廣大考生對(duì)“考什么”有一定的了解(不是盲目的備考)，教育部考試中心命制的試題，每年都具有穩(wěn)定性、連續(xù)性的特點(diǎn).《大綱》提供的樣題及歷屆試題也在于讓考生了解“考什么”.歷屆試題中，從來沒有出過偏題、怪題，也沒有出過超過大綱范圍的超綱題.當(dāng)然，一份好的試題，首先要有好的區(qū)分度，使高水平考生考出好成績(jī)，因此試題中難、易試題要有恰當(dāng)?shù)拇钆?試題的總量必須有一定的限制，同時(shí)試題還要有盡可能大的覆蓋面，因此一味地去做難題，甚至怪題、偏題是不可取的，“題海戰(zhàn)術(shù)”不能替代、系統(tǒng)的復(fù)習(xí)，由于試題有極大的覆蓋面，每年試題幾乎都要覆蓋所有的章節(jié)，因此偏廢某部分內(nèi)容也是不恰當(dāng)?shù)?任何“猜題”及僥幸心理都會(huì)導(dǎo)致失敗.只有根據(jù)大綱，、系統(tǒng)地復(fù)習(xí)，不留遺漏，才不會(huì)留下遺憾.
三、“基”.強(qiáng)調(diào)一個(gè)“基”字，是指要強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的三基，即要重視基本概念的理解，基本方法的掌握，基本運(yùn)算的熟練.
基本概念理解不透徹，對(duì)解題會(huì)帶來思維上的困難和混亂.因此對(duì)概念必須搞清它的內(nèi)涵，還要研究它的外延，要理解正面的含義，還要思考、理解概念的側(cè)面、反面.例如關(guān)于矩陣的秩，教材中的定義是：A是陰Xn矩陣，若A中有一個(gè)r階子式不為零，所有r階以上子式(如果它還有的話)均為零，則稱A的秩為r，記成rank(A)：r(或r(A)=r，秩A=r).顯然，定義中內(nèi)涵的要點(diǎn)有：1.A中至少有一個(gè)r階子式不為零;2.所有r階以上均為零.3.若所有r+1子式都為零，則必有所有r階以上子式均為零.要點(diǎn)2和3是等價(jià)條件，至于r階子式是否可以為零?小于r階的子式是否可以為零?所有r-1階的子式是否可以全部為零?這些都是秩的概念的外延內(nèi)容，如果這些概念搞清楚了。那么下述選擇題就會(huì)迎刃而解.
例1 設(shè)A是m×n矩陣，r(A)=r
(A)至少有一個(gè)r階子式不為零，沒有等于零的r-1階子式.
(B)有不等于零的r階子式，沒有不等于零的r+1階子式.
(C)有等于零的r階子式，沒有不等于零的r+1階子式.
(D)任何r階子式不等于零，任何r+1階子式都等于零.
答案：(B)
基本方法要熟練掌握.熟練掌握不等于死記硬背，相反要抓問題的實(shí)質(zhì)，要在理解的基礎(chǔ)上適當(dāng)記憶.把需要記憶的東西縮小到低限度，很多方法可以通過練習(xí)來記住，例如一個(gè)實(shí)對(duì)稱矩陣，一定存在正交矩陣，通過正交變換化為對(duì)角陣，其步驟較多，但通過練習(xí)，不難解決.
基本計(jì)算要熟練.學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，離不開計(jì)算，計(jì)算要熟練，當(dāng)然要做一定數(shù)量的習(xí)題，通過一定數(shù)量的習(xí)題，把計(jì)算的基本功練扎實(shí).在練習(xí)過程中，自覺的提高運(yùn)算能力，提高運(yùn)算的準(zhǔn)確性，養(yǎng)成良好的運(yùn)算習(xí)慣和科學(xué)作風(fēng).特別對(duì)線性代數(shù)而言，運(yùn)算并不復(fù)雜，大量的運(yùn)算是大家早已熟練了的加法和乘法，從而養(yǎng)成良好的運(yùn)算習(xí)慣和科學(xué)作風(fēng)顯得尤為重要。例如線性代數(shù)的前四章中(行列式、矩陣、向量、方程組)絕大多數(shù)的運(yùn)算是初等變換.用初等變換求行列式的值、求逆矩陣、求向量組(或矩陣)的秩、求向量組的極大線性無關(guān)組、求方程組的解等.可以想象，一旦初等變換過程中出現(xiàn)某個(gè)數(shù)值計(jì)算錯(cuò)誤，那你的答案將是什么樣的結(jié)果?從歷屆數(shù)學(xué)試題來看，每年需要通過計(jì)算得分的內(nèi)容均在70%左右，可見計(jì)算能力培養(yǎng)的重要.只聽(聽各種輔導(dǎo)班)不練，只看(看各類輔導(dǎo)資料)不練，眼高手低，專找難題做，這并不適合一般考生的情況，在歷屆考生中，不乏有教訓(xùn)慘痛的人.
四、“活”.線性代數(shù)中概念多、定理多、符號(hào)多、運(yùn)算規(guī)律多，內(nèi)容相互縱橫交錯(cuò)，知識(shí)前后緊密聯(lián)系是線性代數(shù)課程的特點(diǎn)，故考生應(yīng)通過系統(tǒng)的復(fù)習(xí)，充分理解概念，掌握定理的條件、結(jié)論及應(yīng)用，熟悉符號(hào)的意義，掌握各種運(yùn)算規(guī)律、計(jì)算方法，并及時(shí)進(jìn)行總結(jié)，抓聯(lián)系，抓規(guī)律，使零散的知識(shí)點(diǎn)串起來、連起來，使所學(xué)知識(shí)融會(huì)貫通，實(shí)現(xiàn)一個(gè)“活”字.
線性代數(shù)各章節(jié)的內(nèi)容，不是孤立割裂的，而是相互滲透、緊密聯(lián)系的.如A是n階方陣，若，|A|≠0(稱A為非奇陣).<=>A是可逆陣.<=>有n階方陣B，使得AB=BA=E.<=>B=A-1=A*/|A|.<=>r(A)=n(稱A是滿秩陣).<=>存在若干個(gè)初等陣P1，P2，…，PN，使得PNPN-1…P1A=E.<=>(A┆E)→(E┆A-1).<=>A可表示成若干個(gè)可逆陣的乘積.<=>A可表示成若干個(gè)初等陣的積。<=>A的列向量組線性無關(guān)(列滿秩).<=>AX=0，唯一零解.<=>A的行向量組線性無關(guān)(行滿秩).<=>A的列(行)向量組是Rn空間的基.<=>任何n維列向量b均可由A的列向量線性表出(且表出法唯一).<=>對(duì)任意的列向量b，方程組AX=b有唯一解，且唯一解為A-1b<=>A沒有零特征值，即λi≠O，i=1，2，…，n.<=A是正定陣(正交陣，…).
這種知識(shí)間的相互聯(lián)系、滲透，給綜合命題創(chuàng)造了條件，同樣一個(gè)試題，可以從不同的角度有多種命制試題的方法.
例2 (2001年數(shù)學(xué)一九題)設(shè)α1，α2，…，αs，是線性方程組AX=0的基礎(chǔ)解系，β1=t1α1+t2α2，β2=t1α2+t2α3，…，βs=t1αs+t2α1，試問t1，t2滿足什么條件時(shí)，β1，β2，…，βs也是AX=0的基礎(chǔ)解系.
解析 本題的答題要點(diǎn)是：(1)對(duì)任意t1，t2，βi，i=1，2，…，s仍是AX=0的解;(2)對(duì)任意t1，t2，β1，β2，…，βs向量個(gè)數(shù)是s;(3)β1，β2，…，βs，線性無關(guān)<=>t1s+(一1)n+1t2s≠0.
滿足(1)、(2)、(3)時(shí)，即，t1s+(一1)n+1t2s一1)”≠0時(shí)，β1，β2，…，βs仍是AX=0的基礎(chǔ)解系.
變式(1) (改變成線性相關(guān)性試題)
已知向量組α1，α2，…，αs線性無關(guān)，β1=t1α1+t2α2，β2=t1α2+ t2α3，…，βs=t1αs+t2α1，試問t1，t2滿足什么條件時(shí)，β1，β2，…，βs線性無關(guān).
變式(2) (改變成向量組的秩的試題)
已知向量組α1，α2，…，αs的秩為s.β1=t1α1+t2α2，β2=t1α2+t2α3，…，βs=t1αs+ t2α1，試問t1，t2滿足什么條件時(shí)，r(β1，β2，…，βs)=s.
變式(3) (改變成等價(jià)向量組的試題)
已知α1，α2，…，αs線性無關(guān)，β1=t1α1+t2α2，β2=t1α2+t2α3，…，βs=t1αs+t2α1，試問t1，t2滿足什么條件時(shí)，β1，β2，…，βs和α1，α2，…，αs是等價(jià)向量組.
變式(4) (改變成子空間的基的試題)
設(shè)y是Rn的子空間，α1，α2，…，αs是V的基，β1=t1α1+t2α2，β2=t1α2+t2α3，…，βs=t1αs+t2α1，試問t1，t2滿足什么條件時(shí)，β1，β2，…，βs也是子空間V的基.
難道你不認(rèn)為以上的各種變式基本上是一樣的嗎?它們的答題要點(diǎn)是什么呢?
改變?cè)囶}難度，將向量個(gè)數(shù)s具體化，則成2001年數(shù)學(xué)試卷二十二題.
變式(5) 已知α1，α2，α3，α4，是線性方程組AX=0的基礎(chǔ)解系，β1=t1α1+t2α2，β2=t1α2+t2α3，β3=t1α3+t2α4，β4=t1α4+t2α3，，試問t1，t2滿足什么條件時(shí)，β1，β2，β3，β4，也是AX=0的基礎(chǔ)解系.
改變參數(shù)，你不是可以“隨心所欲”嗎?
變式(6) 已知α1，α2，…，αs是AX=0的基礎(chǔ)解系，β1=t1α1+t2α2，β2=t1α2+t2α3，…，βs=t1αs+t2α1，試問α1，α2，…，αs，滿足什么條件時(shí)，β1，β2，…，βs也是AX=0的基礎(chǔ)解系.
如果你體會(huì)不到以上各種變式實(shí)質(zhì)上是一樣的，那么你沒有學(xué)“活”線性代數(shù)，你的知識(shí)點(diǎn)還是孤立的.
由于知識(shí)間的緊密聯(lián)系和滲透，而綜合考試試題不再依附于某章、某節(jié)(依附于某章、某節(jié)后面的習(xí)題，實(shí)際上是給解題人提供了用該章、該節(jié)的內(nèi)容和方法解題的提示)，這會(huì)給考生解題帶來困難.學(xué)“活”并非易事，需要經(jīng)常總結(jié)，廣開思路.
例3 已知A是n階正定陣，B是n階反對(duì)稱陣，證明A-B2是正定陣.
解析 本題題目本身有提示性，已知的是正定陣，要證的也是正定陣，顯然屬于二次型中有關(guān)正定性的試題，具體解答如下.
B是反對(duì)稱陣，故BT=-B.
任給X≠0，因A正定，故XTAX>O，又XT(一B2)X=XTBTBX=(BX)TBX≥0.
故有XT(A-B2)X=XT(A+(-B)B)X=XT(A+BTB)X=XTAX+(BX)TBX>O.
所以A-B2是正定陣.
變式(1) 已知A是n階正定陣，B是n階反對(duì)稱陣.證明A-B2是可逆陣.v這個(gè)變式要求證明A-B2可逆，但已知A正定.為了利用已知條件，還可以想到A-B2是否正定，即若證明了A-B2正定，自然也就證明了A-B2可逆.
變式(2) 已知B是n階反對(duì)稱陣，E是n階單位陣，證明E-B2可逆.
這個(gè)變式中，隱去了A是正定陣的條件，而是給了一個(gè)具體的正定陣E，要求想到用證正定的角度來證E-B2可逆，難度就相當(dāng)大了，這需要經(jīng)驗(yàn)的積累和總結(jié).
由于知識(shí)間的廣泛聯(lián)系和相互滲透，給不少題的一題多解創(chuàng)造了條件.你可以從各個(gè)不同的角度去研究試題，找到一個(gè)合適的切入點(diǎn)，從而終找到問題的答案.
總之，重視三基，重視各章節(jié)之間的聯(lián)系，重視從多角度研究試題，重視靈活性和綜合性，重視應(yīng)用，是取得理想成績(jī)的必由之路。
其實(shí)偶個(gè)人認(rèn)為，在高數(shù)、線代、概率這三部分當(dāng)中，線代是簡(jiǎn)單的了，也不像高數(shù)那么靈活多變，只要掌握了基本知識(shí)，多作些題，再細(xì)心一些，這部分拿高分很容易。
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